0 前言
五轴联动是在三个平动坐标(X，Y，Z)的基础上引入两个旋转运动。五轴加工可以实现刀具对工件，尤其是对于复杂自由曲面多角度全方位加工，使得加工效率和加工质量大大提高。但是在引入旋转轴的同时也带来了奇异问题。即当刀轴矢量平行或接近于奇异轴时，通过反解运动学求得的机床旋转角不确定，产生奇异问题。这时，机床某些轴运动剧烈，其动力学特性无法满足这个变化。因此，如何提前检测奇异域的位置，避开或者对其进行处理对提高机床加工精度和效率非常重要。
国内外学者对此进行了大量的研究。AFF.OUARD.A等人通过多项式插补修改走刀路径来避开奇异锥形区域，但是插补算法复杂，计算量大；MUNLIN．M等在奇异域内利用迪特拉斯算法选择最优旋转角度解来降低旋转角的急剧变化，但是这只是对旋转角进行了优化，并没有从实质上解决问题；KNUT.S通过修改C转角并在奇异点附近插入刀位点避免加工经过奇异点时误差过大，但是这四篇文献里面均没有对奇异域进行检测，而是直接观察旋转角的变化来判断奇异点。王丹等通过对机床旋转轴的变化量进行监测，找出存在过大非线性误差的刀位点，并使用线性插值的方法进行修正，但是这种方法仅仅考虑位置或角度的变化，并没有考虑机床的速度加速度等动力学特性。中科院的王峰等人将相邻点机床各轴的运动变化量和雅克比矩阵结合起来检测奇异域，并且提出一种奇异域内加工路径优化方法来减少非线性误差，但是雅克比矩阵的条件数计算比较难，并且‘病态’条件数也没有精确的定量标准，故效率比较低。在目前的数控系统如西门子等里面也已经对此类问题有了一定的解决方法。
本课题组在文献中结合机床的动力学特性等提出了一种求解奇异域大小的方法弥补了文献无法确定奇异域大小的不足。本文也是在这个基础上，提出了一种几何的奇异区域检测方法，根据相邻两刀轴矢量所在插补平面与奇异域的位置关系，判断插补是否经过奇异域。并且针对相邻两刀轴矢量与奇异
区域的不同位置关系，采用一种特殊的奇异域内线性插补方法，使得非线性误差尽可能的减少。
1 五轴机床的奇异问题
由AC双转台五轴机床反向运动学变换求得A、C角的解为：
奇异点：A角的解不存在奇异问题，而C角的解在i=0且j=0的时候无法确定，即为奇异点。这时，转台和刀轴是垂直的，无论C角取何值都不影响该点的刀轴方向。
奇异域：事实上，当刀轴矢量与奇异轴的夹角小于某一特定角度的时候，旋转轴的角度的变化就越来越大，会产生较大误差，这一特定的角度即为奇异值，其所形成的区域在空间为一圆锥区域，如图1所示，我们称之为奇异区域。
2 奇异域的检测
(1)奇异值的计算
(2)奇异域的检测
主要算法为：首先，根据已知条件计算奇异域的大小min；其次，分别计算初始刀轴矢量和终止刀轴矢量与奇异轴的夹角，根据初始和终止刀轴矢量与奇异域的位置关系分类判断插补是否经过奇异域。如果终止刀轴矢量与奇异轴的夹角<min，那么认为刀具路径经过奇异域，记为类型b；如果终止刀轴矢量不在奇异域内，起始刀轴矢量与奇异轴的夹角<min，则认为刀具路径经过奇异域，记为类型；如果起始和终止刀轴矢量均不在奇异域内，那么计算奇异轴与由初始刀轴矢量和终止刀轴矢量所构成的平面(即插补平面)的夹角，如果<min。那么刀具路径经过奇异域，记为类型c；如果不满足以上条件则不经过奇异域，记为类型O。
如图3所示，从OA到OB经过奇异域，为类型a；OB到OC经过奇异域，为类型C；OC到OD经过奇异域为类型b；OB到OE不经过奇异域。
根据上面算法，我们可以通过一组数据进行验证算法的有效性。两组刀位点数据和经过本算法所测出的奇异域的位置和类型。由表可知第一组数据区间1～3(第1点到第4点之间)的奇异类型为类型b，而区间4(第4点到第5点之间)的类型为类型a；第二组数据区间1不经过奇异域，区间2类型为类型c。
3 奇异域的处理
当刀具路径通过奇异域时，机床某些轴将剧烈运动．造成过大非线性误差，容易损坏机床，需要进行处理。本文根据所检测出的奇异域类型进行针对性的处理，具体算法：当奇异类型为b和C时，A轴线性转动插值，C轴不动；当奇异类型为a时，AC轴均线性转动插值；当不经过奇异域时，按原来方法处理。
4 仿真验证
本文对文献中的表1中刀位点(如表3)进行仿真对比，说明本算法的有效性。设定进给速度600mm／min；XYZ轴的最大进给速度为5160ram／min，最大加速度为500mm／s2。插补周期0.002s；C轴最大转速限制为300;每秒；最大角加速度Amax=13.96rad／s2(800／s2)；最大角加加速度Jmax=7000rad／s3。从而可计算得奇异域大小为dmin=0.0644。RTCP移动坐标轴补偿的机床参数为：A轴旋转中心到C轴旋转中心矢量(0，-0.099，0)；机床零点到工作台安装基点矢量(0．084，0.239，-198.408)；C轴旋转中心到工作零点矢量(-0.084，-0.14，198.408)。
表中列出的刀位点未经本算法处理和经过本算法处理描绘出的x、y和C轴坐标的变化曲线。可见，经本算法检测出从第2点到第7点经过奇异域，类型为b，而第7点到第8点的过程也经过奇异域，类型为口。由此可知本算法在求得奇异域的大小范围之后，亦可以如文献中检测出第3和第6区间属于奇异区域。未经过本算法处理之前，奇异位置x轴的最大变化量较小为-8.382mm，而y轴的最大变化量为88.075mm，C轴的最大变化量为55.84。；处理后，三轴的变化量分别减小为3.808mm，11.375mm和2.22。由此可见经过本算法处理以后运动轴在经过奇异域时速度变化不再那么剧烈。由于z轴和A轴的变化量始终不是很大，故这里不作列出。另外，上述两图中序号分别为区间序号，即表示所取的刀位点中第几对相邻点。
经过本算法处理的非线性误差，可知经过本算法处理之后的非线性误差降低到0.025mm以下，比文献中处理后的误差小，符合要求。由图8可见在不经本算法处理的情况下，由于机床各轴的最大运动速度所限制，加工路径中出现了尖点的情况，明显偏离理想轨迹，误差较大。而经过本算法处理之后加工路径比较接近理想轨迹。
5 总结
本文根据机床的动力学特性求解奇异域大小，并以此作为判断标准，提出一种几何算法，可以根据起始刀轴矢量和终止刀轴矢量，在未经插补的时候，预知五轴加工是否会经过奇异域，并且对加工处于的奇异域状态进行了分类，在后续处理的过程中针对不同的奇异域类型采用不同的插补方法，能够有效的解决奇异问题，避免加工中出现各轴变化量突变和造成机床的损坏，同时也可以减小非线性误差，具有实用性。
(审核编辑: 智汇张瑜)
