开放式数控系统样条曲线运动规划探讨

0 前言

　　随着制造业的不断发展，复杂型面工件加工的用户需求日益扩大，因此，对复杂曲线运动规划方法的研究，也日益成为数控技术发展的首要任务，是否具有复杂曲面的加工功能，已成为评价高性能数控系统的重要指标之一。

1 开放式数控系统样条曲线运动规划概述

　　采用直线插补，实现对复杂曲面的高速、高精度加工需要较高的配置。除了通过用直线段逼近复杂曲线来实现对复杂曲面的加工外，还可以用样条来拟合复杂曲线，通过直接对样条曲线进行插补来实现对复杂曲线的加工。在相同精度的条件下样条曲线比直线段能描述更长的零件轮廓，首先，对于同一个复杂曲面来说，在相同的精度条件下，用样条拟合后，其G代码文件的大小不会超过用微小直线段方法的1/10；其次，由于在相同精度的条件下样条曲线段比直线段能描述更长的零件轮廓，因此，采用样条方法后，每条G代码规定的刀具路径的长度远远大于用微小直线段方法的刀具路径长度，这样解释器在单位时间内可以解释更长的刀具路径，使原来的数据饥荒问题可以得到解决。另外由于样条曲线可达到C2连续光滑，能够避免刀具运动方向的突然变化，并能改善刀具的受力情况，使得刀具可以光滑地、“柔顺地”从一点移到另一点，不会出现任何突然转向，从而可以提高加工精度。由此看出，采用样条方法可以以较小的成本，实现对复杂曲线的高速、高精度加工。由于样条方法具有G代码文件小、拟合精度高、进给速度大、无数据饥荒等优点，样条插补已经逐渐应用于高档NC系统。采用参数样条曲线的优点表现为所有有关曲线的操作都是在参数域内进行的，如各坐标点的计算，曲线的几何变换等，而且参数曲线的坐标维数可以方便地增加，数控插补中的多坐标联动插补可以直观地通过参数联系起来。需要解决的关键问题是三次样条长度的计算、步长参数的计算、插补递推公式、以及根据步长参数求得三次样条曲线上对应的型值点。

2 刀具轨迹曲线的描述

　　三次样条曲线可以用下列参数方程表示：

　　式中：RK，J（K＝1，2，3）是第i段三次样条的系数矢量矢量，可以是二维的，也可以是三维的；u是无量纲参数，其取值范围为：0≤u≤1。

　　由上式可知，如果给定n＋1个节点坐标和2个边界条件，就可唯一确定一条刀具轨迹曲线，即通过求解所构成的n＋l维线性方程组，可以得到通过任意两个相邻节点Pl和Pl＋1，的三次样条曲线段的多项式矢量系数RK，Jk（k＝1，2，3）。

　　在采用基于S曲线加减速的运动规划方法时，需要注意的是如何从三次样条曲线上得到轮廓步长为ds时对应的轨迹点，以及三次样条曲线的长度计算。

3 步长参数的计算及插补递推公式

　　步长参数的计算必须保证算法能在一个插补周期内实时完成，因而算法应尽量简单。由于每个步长参数增量都是对应于一个插补周期的，因而弦长相对于整个曲线而言是一个小量，为简化计算可用弧长ds代替弦长，由式（1）可得：

　　到此为止，可以按如下方法计算步长参数u，根据u计算得到三次样条曲线上的型值点：在插补开始时，u0＝0，由此可以得到插补递推公式：

　　参数u确定以后，根据式（1）可以很容易得到每个第n个插补周期的型值点。4 三次参数样条运动规划方法的实现

　　在参数三次样条运动规划方法的实现中定义了如下C结构体来描述两个型值点之间的三次样条曲线：

　　由于在三次样条曲线的构造过程中，要求解，t＋1维线性方程组来确定各段三次样条的系数，这个过程中包含大量的浮点运算，使算法的实时性难以得到保证。因此，在三次样条曲线运动规划方法实现中，应该引入了一个三次样条运动规划预处理指令，通过该指令，把计算量较大、实时性要求不高的工作，如计算出各轴的三次曲线参数方程的系数及三次样条的长度等放在预处理阶段完成。当预处理结束时，才开始三次样条曲线的实时插补，参数化三次样条实时插补算法流程如图1。在非实时仿真环境下对表1给出的型值点对应的C样条曲线进行了规划测试，参数配置如下：amax＝1000m/s2；v＝150mm/min；vmax＝6000mm/min；cycleTime＝0.002s。其中，amax为最大加速度，、为指定的编程速度，vmax系统的轴最大速度，cycleTime为插补周期。

图1 三次样条实时插补算法流程

　　由测试可知（曲线图略，可以根据值点列表对应得出），基于样条曲线的运动规划方法也可以在数控的运动控制器中实现。